? Patryk: dlaczego (e^x)'=e^x ?

Mateusz: yes

Patryk: dlaczego tak jest ?, gdzie szukać odpowiedz ? , co powinienem zrozumieć ?

Mateusz: sorki nie doczytałem uwaznie wynika to ze wzoru: (a^x)'= a^xln a wiec: (e^x)= e^xln e = e^x*1

Patronus: jest wzór na pochodną z dowolnego a do x (a^x)' = a^x * lna jeśli teraz zamiast dowolnego a podstawisz liczbę e to dostaniesz (e^x)' = e^x * lne = e^x *1

Patryk: ok juz rozumiem ,a jak udowodnić ten wzór (a^x)' = a^x * lna

Mateusz: A probowałes z definicji pochodnej?

Patryk: nie

Mateusz: A szkoda szkoda na pewno by ci wyszło po drodze trzeba by zastosowac podstawienie za a^h−1 i by wyszło

Patryk: postaram sie to sprawdzic

Patryk2:

	ax+h−ax		ax(ah−1)
lim		=
	h		h

h→0

	ah−1		ehlna −1
Wyrażenie		=		a to można "uraczyć" Hospitalem
	h		h

lnae^h,a gdy h→0 to lnae^h=lna, teraz tylko potrzeba udowodnić regułę owego Hospitala

Patryk: dzięki

Mateusz: No to probuj wyprowadzic to sobie dlatego bardzo kluczowa jest tutaj definicja pochodnej funkcji jako ta granica ilorazu... itd z tego wywodzą się wszystkie znane wzory na pochodne funkcji a wielu niestety nie przykłada do tego uwagi i czasami bezmyślnie kuje wzory na pamiec

Basia: świetne macie pomysły wzór na pochodną e^x wyprowadzanie z wzoru na pochodną a^x, który dowodzicie przy pomocy l'Hospitala korzystając z pochodnej e^x tylko, tak jak napisał Mateusz wprost z definicji pochodnej można wzór na pochodną e^x wyprowadzić po drodze trzeba wykorzystać definicję liczby e potem dopiero można wyprowadzić wzór na pochodną lnx i dalej na pochodną a^x

Basia:

	ex+h−ex
(ex)' = limh→0		=
	h

	ex*eh−ex
limh→0		=
	h

	eh−1
limh→0[ ex*		] =
	h

	eh−1
ex*limh→0
	h

	eh−1
limh→0
	h

liczymy korzystając z definicji granicy Heinego

	eh−1		ean − 1
h>0 ⇒ limh→0		= limn→+∞
	h		an

gdzie a_n każdy ciąg taki, że a_n>0 i lim_n→+∞ a_n = 0 wtedy można zapisać

	1
e = limn→+∞ (1+		)1/an
	1   an

	1
bo		→ +∞
	an

i mamy

	eh−1		ean − 1
limh→0		= limn→+∞		=
	h		an

	1   [(1+ )1/an]an − 1   (1/an)
limn→+∞		=
	an

	1   [1+ ]1 − 1   1/an
limn→+∞		=
	an

	1+an−1
limn→+∞		= limn→+∞ 1 = 1
	an

stąd (e^x)' = e^x*1 = e^x

Krzysiek: lub tak jak napisał Mateusz

ah −1
h

podstawienie: y=a^h −1 y+1 =a^h ln(y+1)=hln(a) gdy h→0 to y→0

	ah −1		y ln(a)		ln(a)		lna
zatem:		=		=		→		=lna
	h		ln(y+1)		ln(1+y)1/y		lne

czyli: (a^x)' =a^x *lna więc gdy a=e to: (e^x)' = e^x *1 =e^x

Mateusz: pochodna z e^x to szczególny przypadek wzoru na pochodna a^x

Basia: można jeszcze tak

	1
h→0 i h>0 ⇒ 1h>0 i 1h→+∞ ⇒ e=limh→0(1+		)1/h ⇒
	1/h

	eh−1		1   [(1+ )1/h]h−1   1/h
limh→0		= limh→0		=
	h		h

	1   1+ −1   1/h		h
limh→0		= limh→0		= limh→0 1 = 1
	h		h

hwdtel: WSZYSTKIE te ostatnie rozważania przy aksjomatycznym przyjęciu: lim(1+x) ^1_x=e x→0 A aksjomatu powyższego,nie da się ruszyć czyli ugryźć?

b.: to nie jest aksjomat, tylko twierdzenie, i można je oczywiście udowodnić. Tylko pytanie, z czego można korzystać. dowód tego, że (e^x)' = e^x jest w wielu książkach, trudno podać dobry dowód tutaj na forum, bo zawsze powstaje pytanie, co juz wiadomo (lub choćby co to jest liczba e) niekiedy definiuje sie najpierw funkcje exp, jako funkcję równą swojej pochodnej i równą 1 w zerze, a potem za e przyjmuje sie exp(1) tak więc na pytanie: czemu (e^x)' = e^x nie ma dobrej odpowiedzi, jesli pytający nie napisze, czym jest (dla niego) e^x lub e, czy zna granicę podana w poście o 13:07, itd.

Patryk: zęby to zrozumieć potrzebna będzie mi większa wiedza i czas ,dzięki

Trivial: http://www.youtube.com/watch?v=9v25gg2qJYE&feature=BFa&list=SP590CCC2BC5AF3BC1

hwdtel i Zen64: A skoro e =lim(1+x)^1_x to nie aksjomat to wytłumacz nam pani b jak to i dlaczego? x→0 A choćby to było ciężkie jak Alcatraz! Może pojmiemy!